《几何原本》之古希腊数学背景

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《几何原本》的贡献

《几何原本》从少量 "自明的" 定义和公理出发, 利用逻辑推理的方法, 推演出整个几何体系, 选取少量的原始概念和不需证明的命题, 作为定义, 公设或公理, 使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据, 然后运用逻辑推理证明其他命题, 它是人类认识宇宙空间和宇宙数量关系的源头.

两千余年来, 所有初等几何教科书以及 19 世纪以前有关初等几何的论著, 都以《几何原本》作为依据. 人们称这种体系为 "欧几里得几何学".《几何原本》对世界数学的贡献主要是确立了数学的基本方法学, 即 :

建立了公理演绎体系, 即用公理, 公设和定义的推证方法

将逻辑证明系统地引人数学, 确立了逻辑学的基本方法

创造了几何证明的方法: 分析法, 综合法及归谬法

事实上, 欧几里得本人对他的几何学的实际应用并不关心, 他关心的是他的几何体系内在逻辑上的严密性. 受《几何原本》的启发, 将已发现的所有知识, 整理为从基本概念, 公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想. 斯宾诺莎的伦理学就是按这种模式阐述的, 牛顿的《自然哲学的数学原理》同样如此.

在《几何原本》中, 欧几里得首先给出了点, 线, 面, 角, 垂直, 平行等定义, 接着给出了关于几何和量的十条公理, 如 "凡直角都相等", “整体大于部分" , 以及后来引起许多纷争的 "平行线公理" 等. 公理后面是一个一个的命题及其证明, 内容丰富多彩. 如平面作图, 勾股定理, 余弦定理等经典理论, 空间中平面和直线的垂直, 平行和相交等关系; 平行六面体, 榜锥, 棱柱, 圆锥, 圆柱, 球的相关性质; 还有比例的理论, 正整数的性质与分类, 无理量等. 公理化结构是近代数学的主要特征, 而《几何原本》则是公理化结构的最早典范. 欧几里得创造性地总结了他以前的古希腊人的数学, 将散的, 不连贯的数学知识整理起来, 加上自己的大量创造, 构建出一座逻辑严密的宏伟大厦.

本书共分 13 卷, 有 5 条公设, 5 条公理, 119 个定义和 465 个命题, 其构成了历史上第一个数学公理体系.

关于重要命题 :《几何原本》中涉及诸多重要命题, 比如命题 I.47 就是著名的 "勾股定理" . 传说这一定理最早是由毕达哥拉斯证明出的, 但他的证明方法却没有流传下来. 而《几何原本》中的证明, 则可以算是现存西方最早证明勾股定理的记载.

关于命题的逻辑关系 :《几何原本》中命题间的逻辑关系甚至比现代教科书还高. 为了清晰地表明这一关系, 千余年来的各种语文版本多附有数学家们对逻辑关系的注解.

关于公理或公设 : 演绎法的基本精神是由简单现象去证明较复杂的现象, 在数学中同样也遵循这一原理. 在这一理论里, 逻辑推理虽然至关重要, 但更重要的是, 我们必须接受一些简单的现象作为我们的 "起点" , 是明显的 "自明" 道理, 数学家们将这些 "起点" 命名为 "公设" 或 "公理". 以公理为起点演绎几何的方法并非为欧几里得首创, 但他是集大成者.

关于第 5 公设及非欧几何学 : 欧几里得的不完美催生了新的几何学, 这是从第 5 公设开始的. 第 5 公设不同于其他 9 条, 言语迟钝, 仿佛有些力不从心的样子. 形式上也不像公设, 倒像一个命题. 因此, 自《几何原本》诞生后,就有无数的数学家研究这条公设, 并试图找出证明这条公设的方法. 可惜, 一直以来, 他们的尝试都归于失败! 到了 19 世纪, 波尔约和罗巴切夫斯基分别发表了一套与第 5 公设相反的几何休系, 并开创了非欧几何学.

古希腊的地理范围, 除了现在的希腊半岛以外, 还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯, 意大利半岛和小亚细亚等地. 公元前五六世纪, 特别是希波战争以后, 雅典取得希腊城邦的领导地位, 经济生活高度繁荣, 生产力显著提高, 在这个基础上滋生了光辉灿烂的希腊文化. 这时 "智者学派" 应运而生. 他们以教授文法, 逻辑, 数学, 天文, 修辞, 雄辩等科目为业. 代表性人物普罗泰戈拉有名言 “人是万物的标尺”. 恩诺庇德斯提出了 “尺规作图” 原则 ( 平面几何的对象只能通过两种方法建立起来：其一，通过给定一点作给定直线的垂线；其二，以给定直线上一点为顶点作一角大小等于一给定角 ). 后来人们提出了尺规作图的 "三大问题" : 三等分任意角; 倍立方 ( 求作一立方体, 使其体积是已知立方体的二倍 ) 和化圆为方 ( 求作一正方形, 使其面积等于一已知圆 ). 对这三个问题的研究极大地促进了当时数学的发展. 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出, 而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题, 这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要一步. 丘斯的希波克拉底 ( 与医学之父科斯的希波克拉底同名 ) 第一个撰写了系统组织的几何教科书，称为《几何原本》（Στοιχεῖα，Stoicheia），即基本定理，或数学理论的基石. 从那时起，来自古代世界各地的数学家至少在原则上可以将工作建立在基本概念、方法和定理的共同框架上. 在希波克拉底之后, 很多数学家也编写了自己的《几何原本》，稳步改进了术语和逻辑结构. 前人的开创性工作为欧几里得的《几何原本》奠定了基础.

希腊数学的发展历史可以分为三个阶段: 第一阶段从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止, 约公元前 7 世纪中叶到公元前 3 世纪; 第二阶段是亚历山大前期, 从欧几里得起到公元前 146 年希腊陷于罗马为止; 第三阶段是亚历山大后期, 是在罗马人统治下的时期, 结束于 641 年亚历山大里亚被阿拉伯人占领.

伊奥尼亚学派

从古代埃及, 巴比伦的衰亡, 到希腊文化的昌盛, 这段过渡时期留下来的数学史料很少. 不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系. 伊奥尼亚位于小亚细亚西岸, 它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦, 埃及等古国积累下来的经验和文化. 在伊奥尼亚, 商人具有强烈的活动性, 有利于思想自而大胆地发展. 思想自由有助于学者将哲学从宗教中分离出来. 米利都是伊奥尼亚的最大城市, 也是泰勒斯的故乡. 泰勒斯是公认的哲学与科学之父, 他早年是一个商人, 曾游访巴比伦, 埃及等地, 学习了很多古代流传下来的几何知识. 此后他创立了伊奥尼亚学派 ( 也被称为米利都学派 ).

据说泰勒斯曾预测到一次日食, 促使米底和吕底亚两国停止战争. 多数学者认为该次日食发生在公元前 585 年 5 月 28 日. 另一个传说是他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高度, 使法老大为惊讶 ( 虽然实际上埃及人比古希腊人更早就认识到了比例关系, 越古老的故事杜撰痕迹就原明显 ). 泰勒斯在数学方面的贡献主要在于开了命题证明的先河, 它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性.

泰勒斯认为世界的本质元素是 "水" , 水开万物, 水是万物的本原. 当希腊神话成为大众思想生活和精神生活的主流时, 他却站出来反对. 他不能忍受用杜撰的故事来阐释造化天工, 于是转而观察自然界的各利法则, 希望从自然界内部找到他的神, 泰勒斯首创了在自然元素中寻找宇宙答案的方法. 他的弟子阿拉克西曼德认为万物是由一种叫 “阿派朗( 无定, 无限 )” 东西，因其内部的固有矛盾（冷然，干湿）相互转化而形成的. 而阿拉克西曼德的弟子阿那克西美尼对以上观点均有异议，他提出万物是由“气”因聚散离合而形成的.

伊奥尼亚学派的观点是朴素的唯物主义, 他们开创了理性思维，试图用观测到的事实而不是用古代的希腊神话来解释世界, 这是非常具有进步意义的.

艾菲斯学派

艾菲斯学派的代表性人物赫拉克利特颇具传奇色彩，他本是伊奥尼亚的艾菲斯城邦的王子，却把王位传给了弟弟，自己去过着一种离群索居的生活. 他认为万物是由火形成，火在一定分寸上熄灭，在一定分寸上燃烧就形成了万物，而决定万物与火转化的这种“道”被称之为 “logos”. 万物流变，无物常驻，如同人不能两次踏入同一条河流. 万物从何而来？为何流变？怎么流变？都是 “logos” 的作用, 它隐藏在事物的背后, 是抽象的. 赫拉克利特对 “logos” 的重视是区别于早期其它哲学流派重质料而轻变化的一大特点. 在 “本原优先” 的思想主导之下，什么样认知方式能认识到本质或本体，便被认为是高级的, 也就是说有什么样的本体论就有什么样认识论. 很显然，想要把握 “logos” ,光凭日常生活对纷繁事物的单纯的感觉经验是远远不够的，必须更加依赖于理性思维的推导，这种 “重理性，轻感觉” 的倾向后来一直是古希腊哲学的主旋律.

赫拉克利特强调事物的相对性和运动性, 一切事物均处于普遍运动与相互转换之中, 他被认为是辩证法的奠基人. 但也很容易从辩证法走向诡辩论, 比如他的学生克拉底鲁提出 “人一次也不能踏入同一条河流”.

毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯, 这个宣布万物皆数的人, 简直是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一. 公元前 580 年左右他出生于萨摩斯 ( 今希腊东部小岛 ). 为了摆脱暴政, 他移居到意大利半岛南部的克罗顿. 毕达哥拉斯首创地圆说, 认为日, 月, 五星都是球体, 并浮悬在太空中. 他也是音乐理论的始祖, 当然最著名的发现还是以他命名的毕达哥拉斯定理. 在意大利, 他组织了一个政治, 宗教, 哲学, 数学合一的共产主义形式的秘密团体 ( 不分男女都可以参加. 财产是公有的, 过着一种共同的生活, 即使是科学和数学的发现也认为是集体的 ). 其权力曾经大到控制了整个城邦, 这也说明古希腊民众对天才精英们的虔诚, 因为他们希望在天才的带领下找到生命的意义和宇宙的秩序. 后来这个集体在政治斗争中遭到破坏, 毕达哥拉斯被杀害, 但他的学派还继续存在了两个世纪 ( 约前 500 — 前 300 年 ) 之久. 此学派的核心观点是 : 万物皆数, 美是和谐. 即万物按照一定的数量和比例从而构成和谐的秩序. 他们把数夸张到世人难以理解的神秘境地, 研究清楚数就可以解开宇宙的终极秘密. 甚至把数与某些意义直接联系起来, 比如, 规定 "二" 表示意见, "四" 是正义, "五" 是结婚 "十" 是完满, 如此等等, 这的确让今人匪夷所思. 一开始他们认为万物都是 p/q ( q ≠ 0 ) 这样的有理数, 但希帕索斯利用毕达哥拉斯定理计算三角形斜边长时发现了根号二等无理数的存在, 引发了第一次数学危机, 出于恐惧他们把这位勇士扔到了大海中, 但随后人们不得不接纳无理数这个怪物. 他们善于将算术与几何相结合来研究问题, 还发现了五种正多面体的存在, 找到了完全数, 相亲数, 发现了均值不等式… 毕达哥拉斯们对数学发展的贡献巨大, 后来的数学家们都直接或间接地被毕达哥拉斯主义所影响.

按照传统的说法，毕达哥拉斯主义在某个时刻分成了两个独立的学派，分别为数学家 ( Μαθηματικοι，意为学习者 ) 和声闻家( Ακουσματικοι，意为聆听者 ). 数学家一般来说是推广和发展由毕达哥拉斯开始的数学和科学工作, 而声闻家则着重于他在宗教性及偶发性集会礼节性方面的教义. 声闻家称数学家不是真正的毕达哥拉斯主义者, 而是希帕索斯的追随者, 而数学家则认为声闻家也是毕达哥拉斯主义者，但自己一方更代表毕达哥拉斯主义.

被毕达哥拉斯所鼓舞的人们, 将数学和宗教联系起来, 保持着一种狂醉式的生活仪式. 这一点, 对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的人们来说, 好像是很奇怪的; 然而, 对于那些时时经历着由于数学上的豁然贯通而感到沉醉欢欣的人们以及那些喜爱数学的人们来说, 毕达哥拉斯的观点则似乎自然得很, 纵使它并不真实. 仿佛经验的哲学家只是材料的奴隶, 而纯粹的数学家正像音乐家一样, 他们是那秩序井然, 美丽世界的自由创造者.

伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著不同. 前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣, 同时也为了实用, 而后者却不注重实际应用, 将数学和宗教联系起来, 想通过数学去探索永恒的真理.

埃利亚学派

埃利亚学派产生于公元前 6 世纪意大利南部的爱利亚城邦. 一般认为，爱利亚学派有四位代表人物。克塞诺芬尼是他们的先驱, 他提出 “神” 是不动的 “一”; 巴门尼德是爱利亚学派的奠基人和领袖，他认为 “存在” 是不动的 “一”, 具体的事物是虚伪的，唯有抽象的 “存在” 才是真实的; 芝诺和麦里梭则起着捍卫、修正和发展巴门尼德的理论的作用. 芝诺提出的几个悖论给当时的思想界带来了极大震动 :

二分说, 一物从甲地到乙地, 永远不能到达. 因为想从甲到乙, 首先要通过道路的一半, 但要通过这一半, 必须先通过一半的一半, 这样分下去永无止境. 结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着, 根本不能前进一步

阿喀琉斯追龟说, 跑步竞赛中阿喀琉斯让了乌龟一段距离再同时起跑, 那么阿喀琉斯永远追不上乌龟, 因为当他追到乌龟的出发点时, 龟已向前爬行了一段, 他再追完这一段, 龟又向前爬了一小段. 这样永远重复下去, 总也追不上.

飞箭静止说, 每一瞬间箭总在一个确定的位置上, 因此它是不动的.

运动场问题, 芝诺论证了时间和它的一半相等

巴门尼德认为 “存在” 是唯一的, 不动的, 永恒的. 按照他的描述: "有一条最后的边界, 它在各方面都是完全的, 好像一个滚圆的球体, 从中心到每一个方面的距离都相等". ( 黑格尔曾讽刺说, 巴门尼德弄出来的是 "一片简单的阴影" . 但也有后人讽刺黑格尔说, 他弄出来的 "不过是个上帝的身体")

集哲学家, 医生, 政治家, 诗人和江湖术士为一身的恩培多克勒受毕达哥拉斯学派和埃利亚学派影响很深. 他在倒着把瓶子放入水中而水不能进入瓶子时, 发现空气是一种存在的物质. 他也许是最早的也是最不完善的多元论者, 将世界本原的看法从转化生成论( 泰勒斯、阿那克西曼德、阿那克西美尼、赫拉克利特等 ) 转向到了构造论. 恩培多克勒承认巴门尼德认为存在是永恒的观点 ( 存在是永生的、不可毁灭的 ). 但他又拒斥巴门尼德把存在当作一个 “圆满的球体” 的观点，他认为存在是四种微粒, 即水、火、土、气. 万事万物的变化和运动就是由于这四种微粒由爱与恨聚合和分散造成的.

原子论学派

所谓原子 ( atom ) 即不可分割的最小基本粒子, 原子论由留基波所创立, 由他的学生德谟克利特发扬光大. 从后世看来, 原子论学派的观点是很有进步意义的.

德谟克利特是自然科学家和第一个百科全书式的学者, 古代唯物思想的重要代表. 原子论学派认为, 世界的本原是原子和虚空，原子就是表示 “充实” 的最小微粒，原子表示存在，虚空表示非存在. 非存在和存在具有同等地位. 如果只有原子而没有虚空, 也就是原子间没有间隙, 那么充实的东西就不会分开而形成万物，因为没有间隙原子就无法移动. 所以，充实就可以表示万物的存在，而虚空则表示万物众多和运动的可能性. 原子排列成特定的形状、次序和位置来构成事物. 同所有的元素学派一样，作为本原的原子不可凭空产生，也不可凭空消失. 人的灵魂也是原子构成的，而且灵魂是由球形的原子构成的, 因为球形是最完美的，最利于穿过其他形状. 在几何上, 线段, 面积和立体是由许多不可再分的原子所构成. 计算面积和体积, 等于将这些原子集合起来.

柏拉图学园

柏拉图 ( 约前 427 — 前 347 年 ) 年轻时曾周游列国, 约前 387 年, 他在雅典城北创办了著名的柏拉图学园 ( Ἀκαδήμεια ), 据说其大门上挂着这样一块牌子: "不懂几何者, 请勿入内". 柏拉图非常重视数学, 主张通过几何的学习培养逻辑思维能力, 因为几何能给人以强烈的直观印象, 将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中. 这个学派培养出不少数学家, 如欧多克索斯, 他发现了黄金分割比 0.618, 并且也是穷竭法的首创者 ( 也有说法是柏拉图的弟弟安提丰在解决“化圆为方”的问题时提出了穷竭法，这是极限理论的萌芽 ). 柏拉图最杰出的学生, 古希腊哲学集大成者, 后来的 “逍遥学派” 创始人亚里士多德, 是形式逻辑的奠基者. 他为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路. 欧几里得也可能认识柏拉图或者在学园里跟随他学习过, 但不得考证了.

托勒密王朝的首都, 埃及的亚历山大里亚是东西海陆交通的枢纽, 文化碰撞的中心, 其商贸发达, 学术环境浓厚, 拥有当时世界上最宏伟的图书馆. 这里逐渐成为新的希腊文化中心, 聚集了众多当世最优秀的数学家、哲学家、商人、医生、剧作家、政治家、工程师、天文学家… 而希腊本土这时已经退居次要地位. 几何学最初萌芽于埃及, 后来移植于小亚细亚西部的伊奥尼亚, 再后来兴盛于意大利和雅典, 最后又回到发源地埃及. 经过这一番转移, 它已变得十分繁荣.

亚历山大前期 : 从公元前 4 世纪到公元前 146 古希腊灭亡, 罗马成为地中海区域的统治者为止, 希腊数学以亚历山大里亚为中心, 并达到它的全盛时期. 这里有巨大的图书馆和浓郁的学术氛围, 各地学者云集在此进行教学和研究. 叙拉古的阿基米德善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来, 又在实践中洞察事物的本质, 通过严格论证, 使经验事实上升为理论. 他给出了球的表面积和体积计算公式, 计算抛物线、椭圆旋转体的体积, 研究了螺旋曲线的性质, 他还使用穷竭法来计算圆周率时, 这已具备朴素的微积分思想. 阿波罗尼奥斯的主要贡献是撰写了《圆锥曲线论》, 这可以说是古希腊几何学的巅峰之作, 他还得出了 3.1416 这一更为精确的圆周率数值, 埃拉托斯特尼认识到地球是球体且围太阳旋转, 他计算了地球的周长还精确测量了黄赤交角, 并且还发明了一种高效的素数筛选算法. 天文学家喜帕恰斯是三角学的开创者, 他构建了三角函数表, 发现和测量地球的进动 ( 岁差 )，也可能是第一个使用可靠方法来预测日食的人.

另一方面, 公元前三百年之后, 古希腊也出现了新的四大思想流派 : 犬儒主义、伊壁鸠鲁主义、斯多葛主义、怀疑主义. 这些学派在哲学和政治学方面对后世影响很大.

亚历山大后期 : 公元前 146 年以后, 在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人工作, 且各种发明发现层出不穷. 托勒密将喜帕恰斯和其他先贤的工作加以整理, 奠定了三角学的基础. 他还撰写了《天文学大成》和《地理学指南》等著作, 提出了以地球为中心的宇宙模型. 梅内劳斯发现了三角形中的梅内劳斯定理, 亚历山大的工程师海伦 ( 又译希罗 ) 给出了已知三角形三边长计算面积的海伦公式, 他还发明了汽转球蒸汽机, 自动售卖机, 注射器等先进工具. 帕普斯著有《数学汇编》（Synagoge）一书，记录了许多重要的古希腊数学成果，意义重大. 尼科马霍斯声称是毕达哥拉斯哲学精神的继承人, 著有《算术入门》, 他让算术摆脱了几何形式, 开辟了数学研究的新路径, 第三和第四个完全数可能也是他发现的. 丢番图被誉为 “代数之父”, 著有《算术》, 其引入未知数, 研究了代数方程的问题, 在希腊数学中独树一帜, 对后世的影响巨大. 安提莫斯与伊西多尔合作修建了圣索菲亚大教堂, 可见彼时建筑学与工程技术的发达.

325 年, 罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具, 他把一切学术都置于基督教神学的控制之下. 公元 415 年, 女数学家, 新柏拉图学派的领袖希帕提娅遭到基督徒的野蛮杀害. 529 年, 东罗马帝国皇帝查士丁尼下令关闭雅典学园及其他学校, 严禁传授数学. 许多学者逃到叙利亚和波斯等地, 数学研究受到沉重打击. 641 年, 亚历山大被阿拉伯人占领, 图书馆再次被毁. 亚历山大里亚的辉煌也随之一去不复返.

几何与世界本原

对于欧几里得来说, 几何是近神的, 《几何原本》也可以当作诗歌或哲学来阅读, 这或许更接近他的动机. 在希腊思想鼎盛的时代, 人们研究人自身的问题以及人所面对的宇宙问题, 这成为整个希腊的精神气质, 构成了远古时代知识分子的日常生活和基本话题. 苏格拉底年轻时常常站在大街上拉着过路的行人就要求辩论一番, 以企图寻找人, 人群, 物质, 精神等存在的本来意义. 众哲学家在思考着这些问题: 人所寄居的宇宙到底是什么 ? 人到底是什么 ? 要干什么 ? 为阐释宇宙的本质, 灿若群星的哲学思想繁衍旺盛, 哲学家们要寻找世界的本原, 即构成宇宙的基本元素以及万千复杂世界所的根本. 他们将整体的复杂还原为要素, 而要素的变化, 过程, 次序, 排列, 关系成为寻找对象.

苏格拉底通过辩论问题中的矛盾清晰事物的结论获得真理, 真理的累加最后通达整个宇宙. 苏格拉底的进步在于他已不把那 "元素" 或 "始基" 视为一种经验中的物质, 而是抽象出他称为 "真理", "规律", "理性法则" 的东西. 柏拉图在《理想国》里提出 "理念世界" 一词, 并宣布: 现实世界是个假象, 是个影子, 是理念世界的投影, 攀登上理念世界的人必须借着理性的绳索. 他对几何学抱着虔诚的敬神式的热情, 因为他看到既能满足于一切物质和空间, 又不受时间腐蚀的点, 线, 面, 角的规律之舞, "其品性接近于理念世界之物", 他相信, 几何学可以修建通往理念世界的天梯. 也就是说, 柏拉图的元素或始基, 是他描述的 "理念世界" . 集古希腊哲学之大成的亚里士多德, 把宇宙的实质定义为 "本体", 放弃了自然哲学中的那种宇宙本原的寻求. 并由此发明出范畴, 分类, 逻辑, 属性, 一般与个别, 本质与现象, 思维与存在, 理性与感性, 可能性与现实, 不变与变等矛盾关系.

很多古希腊哲学家怀着深厚的几何学情结, 他们想借这一工具找到上帝或者说世界的根本. 许多物质的速朽性和无常性使他们自然联想到身体, 再进一步联想到人的精神属性, 这时他看到了几何学的特别属性: 不受时空的腐蚀, 它是永恒的, 绝对的. 它可以修筑通往上帝的天梯. 远古时期人们修建巴别塔, 企图通往天国. 古希腊哲人们同样也抱着借数字之梯通向神的理想情怀.

欧几里得把几何学视为近神之物, 这就产生了一个青年追问他几何学的用处时他叫身边的侍从给他三个硬币的著名故事. 汉语翻译的 "几何" 一词其实并不贴切, 这不是圆满的译法, 它失去了神性. "几何" 意为事物数字意义上的多少, 用于反问句. 而希腊语是指 "元素" "原理" , 意即我们这个世界的基本元素, 宇宙的基本元素以及构建这个宇宙的基本元素, 这就是哲学中所说的 "元素" "始基" . 从点, 线, 面, 距离, 长度, 角度出发描述的刚性空间是宇宙的本样, 甚至可能是神的本样;换句话说, 从空间中抽离出来的点, 线, 面是一切事物的元素, 因此也是宇宙的元素.

欧几里得没有想到的是, 两千余年以后, 靠几何学寻找上帝依旧渺茫, 而世俗性的应用却大规模建造了人类的物质文明. 对于工业革命后兴盛的人造物质来说, 几何学起到了支撑性作用. 按照欧几里得批评他那位世俗的学生的理想主义思路, 近现代社会从几何学角度来看, 只是一个副产品而已. 《原本》与其说是在描述数学, 不如说是描述宇宙的诗歌之舞, 是一种宗教情怀, 一种哲学.

芝诺的狂醉

芝诺生于意大利半岛南部的埃利亚城邦, 据说他在母邦度过了一生, 仅在成名之后到过雅典. 据传说, 芝诺因蓄谋反对埃利亚的君主而被处死. 他的著作早已失传, 生平也缺乏可靠的文字记载. 柏拉图在《巴门尼德篇》中, 记载了芝诺和巴门尼德于公元前 5 世纪中叶去雅典的一次访问 : "巴门尼德年事已高, 约 65 岁; 头发很白, 但仪表堂堂. 那时的芝诺约 40 岁, 他身材魁梧, 相貌堂堂, 大家说他已经变成巴门尼德所钟爱的了." 在以后的希腊著作看来, 这是柏拉图虚构的. 据说芝诺从 "多" 和 "运动" 的假设出发, 一共推出了 40 个各不相同的悖论. 现存的有 8 个, 其中关于运动的 4 个悖论最为著名.

亚里士多德批判 "二分说" : 他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物, 或者分别和无限的事物相接触. 要知道, 事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触, 但能和分开的无限的事物相接触, 因为时间本身是分开的也是无限的. 批判 "追龟说" 时认为, 在运动中领先的东西不能被追上的这个想法是错误的. 因为在它领先的时间内是不能被赶上的, 但是, 如果芝诺允许它能越过所规定的有限距离, 那么它也是可以被赶上的. 批判 "飞箭静止说" ( 我国的庄子, 也提出过相同的思想, 在《天下篇》中有: "飞鸟之景, 未尝动也." ) 时认为, 时间不是由不可分的 "现在" 组成的, 正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样. 这个结论是因为把时间当作是由 "现在" 组合成而引起的, 如果不肯定这个前提, 这个结论是不会出现的. 批判 "运动场悖论" 认为, 这里的错误在于他把一个运物体经过另一运动物体所花的时间, 看作等同于以相同速度经过相同大小的机止物体所花的时间, 事实上这两者是不相等的.

但罗素又反批判亚里士多德, 他说道 :" 直到 19 世纪中叶, 亚里士多德于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的, 人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩. 在这个变化无常的世界上, 没有什么比死后的声誉更变化无常了. 死后不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了. 他虽然发明了 4 个无微妙而深邃的悖论, 但是后世的大批哲学家却宣称他只不过是个聪明的骗子而他的悖论只不过是一些诡辩. 遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名. 19 世纪下半叶以来, 学者们开始重新研究芝诺. 他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的, 正确的报道, 而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识, 亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的. 目前, 学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚, 但大家一致认为, 芝诺关于运动的悖论不是简单地否认运动, 这些悖论后面有着更深的内涵. 亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意, 从这个意义上来说, 他功不可没, 但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功, 还不可以下定论."

其他评论还有: 毕达哥拉斯学派发现的无理数对芝诺悖论的提出产生了深刻影响. 芝诺是对古代数学的发展起决定影响的人物. 他们试图证明, 毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段, 想以此来克服第一次数学危机, 而芝诺的悖论反对了这种不准确的做法. 美国数学家贝尔说: "芝诺以非数学的语言记录下了最早同连续性和无限性斗争的人们所遭遇到的困难." 芝诺的功绩在于提出动和静的关系, 无限和有限的关系以及连续和离散的关系, 并进行了辩证的考察.

前三个悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别, 是无限可分和有限长度之间的矛盾. 他并不是简单地否认运动, 而是反对那种认为空间是点的总和, 时间是瞬刻的概念, 他想证明在空间作为点的总和的概念下, 运动是不可能的. 第四个悖论是古代文献中第一个涉及相对运动的问题. 按照芝诺的这些理论, 欧几里得的理论从根本上就失效了.

古希腊理性的纪念碑

古希腊的智者由于坚信这个世界是可以理解的, 物质世界甚至延及精神世界的终极答案是可以获得的, 并可以用永恒的法则来表述它, 于是发展了数学精神, 也强化了用演绎的形式进行严密推理的逻辑方法, 这就保证了数学成为门确定可靠的知识. 在纷繁的物质世界背后, 潜藏着数学法则, 不同的空间结构形式构成了不同的物质. 西方科学发展的历史, 就是与宗教抗争的历史, 就是反蒙昧, 反专制的历史. 在这中间, 数学以它的确实和完美起到了主要的作用, 并最终逐出了在自然科学领域同样居于统治地位的上帝, 解放了思想. 从这个意义上讲, 一个没有发达数学文化的民族注定会衰落.

和许多古希腊哲学家一样, 欧几里得的几何学本质是不考虑实践价值, 这一点柏拉图也非常推崇. 在古希腊时代没有一个人会想到圆锥曲线是有实际用处的, 到了 17 世纪伽利略才发现抛物体是沿着抛物线而运动的, 而开普勒则发现行星是以椭圆轨迹运动的. 希腊人由于纯粹爱好理论所做的工作, 成为了解决现实问题的金钥匙.

欧几里得的《几何原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一. 罗马人的头脑太过于实际而不能欣赏他的著作. 第一个提到欧几里得的罗马名人是西塞罗, 但在鲍依修斯 ( 约公元 480 年 ) 以前, 并没有任何关于拉丁文译本的记载. 阿拉伯人却更能欣赏《几何原本》. 大约在公元 760 年, 拜占庭皇帝曾送给回教哈里发一部《几何原本》; 约公元 800 年, 哈伦 · 阿尔 · 拉西德在位时, 《几何原本》有了阿拉伯文的译本. 现存最早的拉丁文译本是巴斯的阿戴拉德于公元 1120 年从阿拉伯文译过来的. 中世纪以后, 对几何学的研究就逐渐在西方复活起来, 但是一直到文艺复兴晚期, 几何学才迈出了极为重要的一步, 即解析几何的出现, 而后世几何学发展便愈发地蓬勃. 传承自古希腊人的数学思想和精神, 历千万祀, 与天壤而同久, 共三光而永光.